二重积分计算

二重积分计算

利用直角坐标计算

1. 先 $y$ 后 $x$ ， $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$
2. 先 $x$ 后 $y$ ， $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dy{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$

利用极坐标计算

$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$

对称性和奇偶性

1. 若积分域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，则： $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{r}2\underset{D_{x>0}}{\iint }f(x,y)d\sigma ;f(-x,y)=f(x,y)\\ 0;f(-x,y)=-f(x,y)\end{array}$

2. 若积分域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，则： $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{r}2\underset{D_{y>0}}{\iint }f(x,y)d\sigma ;f(x,-y)=f(x,y)\\ 0;f(x,-y)=-f(x,y)\end{array}$

变量对称性

若 $D$ 关于 $y=x$ 对称，则 $D_{(x,y)}=D_{(y,x)}=D$ ，

$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D}{\iint }f(y,x)d\sigma$

$\underset{D}{\iint }f(x)d\sigma =\underset{D}{\iint }f(y)d\sigma$

对于一个二重积分，包括区域 D 和被积函数中的 x，y 统统对调，值不变