连续

连续的概念

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

左连续： ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=f(x_0)$ 右连续： ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$

定理： $f(x)连续\iff f(x)左连续且右连续$

间断点及其类型

间断点的概念

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 某去心邻域有定义，但在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

间断点的分类

第一类间断点

左、右极限均存在的间断点。

• 可去间断点：左极限 $=$ 右极限
• 跳跃间断点：左极限 $\ne$ 右极限

• 跳跃间断点上，只能保证一边的导数存在，另一边导数不存在，所以跳跃间断点的左右导数不相等
• 左右导数相等是函数连续的充分条件

第二类间断点

左、右极限至少有一个不存在的间断点

• 无穷间断点： ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty$
• 震荡间断点： ${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}$

连续函数性质

1.有界性

2.最值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值和最小值

3.介值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\ne f(b)$ ，则对 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间任一数 C==（可以是最大值和最小值之间的任何值）==，至少存在一个 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi )=C$

4.零点定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\times f(b)<0$ ，则 $必\exists \xi \in (a,b)$ ，使 $f(\xi )=0$

讨论连续性及间断点的类型

1. 讨论连续性（初等函数在定义区间内处处连续）
2. 找到所有间断点（没有定义的点）
3. 求每个间断点的（左右）极限，判断间断点类型